matematicas II

martes, 3 de junio de 2014

Probabilidad simple & conjunta

Probabilidad Simple o Marginal

La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.

Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.

Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.

Ejemplo Probabilidad simple

| Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder |

Probabilidad = | |

| Cantidad total de posibles resultados |

Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

* Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
* 68 ÷ 87 = 0.781609
* Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

Regla de la Multiplicación o Probabilidad Conjunta:

Esta regla expresa la probabilidad de que ocurra un suceso A y un suceso B.

Pueden ocurrir dos formas: que el segundo suceso depende del primero o que ninguno dependa del otro, por lo tanto veremos estas dos formas:

Para sucesos dependientes:

NOTA: Si observas esta regla, puedes darte cuenta que se relaciona fuertemente con la Intersección entre conjuntos ( y ), es una multiplicación.

Ejemplo 1: Se sacan dos cartas sin restitución ( se saca la primera se observa y no se vuelve a meter ) de una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes ?

Sea R = sacar un rey

Observe que lo que necesitamos es la probabilidad de sacar un rey en la primera carta y un rey en la segunda, es decir:

http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/proconjunta_archivos/image004.gif

http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/proconjunta_archivos/image006.gif

Para sucesos independientes

Ejemplo 2: Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean corazones ?

Sea C = carta de corazones

Medidas de dispercion

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuánto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

Rango estadístico

El rango o recorrido interarticular es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R'.

Ejemplo

Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de:

Rango = (9-4) = 5

Conceptos & Problemas

Conceptos

media:

En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

Mediana :

En el ámbito de la estadística, la mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Moda:

La moda son tendencias repetitivas

Datos agrupados:

Al tratar con datos agrupados, si ${{\frac {n} {2}}}$ coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisas correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

$\frac{N_i-N_{i-1} }{a_i-a_{i-1} }=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{N_i-N_{i-1} }(a_i-a_{i-1})$

Donde $N_{i}$ y $N_{i-1}$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que $N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}$ , $a_{i-1}$ y $a_{i}$ son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y $M_e=a_{i-1}+p$ es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que $a_{i} - a_{i-1}$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Datos no agrupados:

Sean $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como

, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición

una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: $M_e=x_{(n+1)/2}$ .

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son:

=> El valor central es el tercero: $x_{(5+1)/2} = x_3 = 7$ . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (

) y otros dos por encima de él (

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando

es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones

. Es decir: $M_e = (x_{\frac{n}{2}} + x_{{\frac{n}{2}}+1})/2$ .

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son:

=> Hay dos valores que están por debajo del $x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato $x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8$ . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: $M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5$ .

Ejemplos para datos sin agrupar

Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos

xi	fi	Ni
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	8	21 > 19.5
6	9	30
7	3	33
8	4	37
9	2	39

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas

N_i

. Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene

X (39+1) / 2 = X 20

Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo para datos agrupados

Entre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 5 estudiantes.
Entre 1.70 y 1.80 hay 3 estudiantes.

Mediana= 1.60 + \left( \frac{(10/2)-2}{5} \right)0.1=1.66

Historia de la estadistica

3050 a.C. EGIPTO

En los monumentos egipcios se encontraron documentos importantes la sabia organización y administración de esta cultura. Hicieron censos.

Antecedentes de la estadística en la antigüedad

La estadística surgió en épocas muy remotas , mediante un proceso largo de desarrollo y evolución. Desde hechos de simple recolección de datos hasta la diversa y rigurosa interpretación de los datos que se dan hoy en día. La estadística existe desde el comienzo de la historia y esto se sabe a través de crónicas escritos y como de restos arqueológicos.

2238 a.C. CHINA

En China Confucio, en uno de sus clásicos "Shu-King" escrito hacia el año 550 a.C., nos narra cómo el Rey Yao en el año 2238 mandó hacer una estadística agrícola, industrial y comercial.

Linea del tiempo

1800 a.C.

Monumentos prehistóricos cuyas paredes se encontraban grabados toscos signos que servían para llevar la cuenta del ganado y la caza. Poco a poco conforme fue evolucionando la sociedad, estos hechos fueron más frecuentes y menos inciertos.

1450 a.C.

En la Biblia observamos en uno de los libros del Pentateuco, bajo el nombre de Números, el censo que realizó Moisés después de la salida de Egipto.

721 a.C.

Sargón II, rey de Asiria, fundó una biblioteca en Nívine en donde se guardaban una recopilación de hechos históricos, religiosos, importantes datos estadísticos sobre producción, cuentas.

594 a.C. GRECIA

Grecia tuvo importantes observaciones estadísticas en la distribución de terreno, servicio militar, etc. Sócrates, Herodoto y Aristóteles a través de sus escritos incentivaron la estadística por su importancia para el Estado.

27 a.C.

El Imperio Romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Los censos se realizaban cada cinco años, y los funcionarios públicos tenían la obligación de anotar nacimientos, defunciones y matrimonios, sin olvidar los recuentos periódicos del ganado y de las riquezas contenidas en las tierras conquistadas.

AUGE DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

758

Durante los mil años posteriores a la caída del Imperio Romano se hicieron muy pocas operaciones estadísticas, con la notable excepción de las relaciones de tierras pertenecientes a la Iglesia, compiladas por Pipino el Breve y por Carlomagno en los años 758 y 762, respectivamente. En Francia se realizaron algunos censos parciales de siervos durante el siglo IX.

1532

Debido al temor que Enrique VII tenía de la peste, en el año 1532 empezaron a registrarse en Inglaterra las defunciones causadas por esta enfermedad. En Francia, más o menos por la misma época, la ley exigía a los clérigos registrar los bautismos, fallecimientos y matrimonios.

1540

Sebastián Muster realizó una compilación estadística de los recursos nacionales, que comprendía datos acerca de la organización política, instituciones sociales, comer- cio y poderío militar de Alemania.

1632

Durante un brote de peste que apareció a fines del siglo XVI, el gobierno inglés comenzó a publicar estadísticas semanales de los decesos. Esa costumbre continuó muchos años, y en 1632 los llamados Cuentas de Mortalidad ya contenían datos sobre los nacimientos y fallecimientos por sexo.

1691

Gaspar Neumann, sus cálculos sirvieron de base para las tablas de mortalidad que hoy utilizan todas las compañías de seguros.

1760

Godofredo Achenwall, profesor de la Universidad de Gotinga, acuñó en 1760 la palabra estadística, que extrajo del término italiano statista (estadista).

EL ESTUDIO DE LAS PROBABILIDADES

1487

El cálculo de las probabilidades se inició como solución a problemas relativos a los juegos de azar. El problema más importante era el conocido como “problema del reparto de apuestas” que distribuía las ganancias entre jugadores cuando la partida se interrumpía antes de finalizar.

1657

Christian Huygens publicó un breve tratado titulado “De Ratiocinnis in ludo aleae” (sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados)

1665

En 1665, Blaise Pascal publicaba Tratado sobre el triángulo aritmético, la más importante contribución realizada hasta la fecha en el ámbito de la combinatoria.

1687

El primero en dar la definición clásica de probabilidad fue Jacob Bernoulli, matemático suizo.

ESTADISTICA MODERNA

1812

Pierre Simon Laplace publicó un gran tratado, titulado "Théorie Analytique des probabilités", donde no se limita a ocuparse de problemas de probabilidades discretas, que son los que corresponden a los juegos de azar, sino que se encarga también de estudiar problemas de probabilidades continuas.

1835

Jacques Quételect es quien aplica la estadística a las ciencias sociales. Interpretó la teoría de la probabilidad para su uso en esas ciencias y aplicó el principio de promedios y de la variabilidad a los fenómenos sociales.

1888

A finales del siglo XIX, Sir Francis Galton introdujo el concepto de correlación, que tiene por objeto medir la influencia relativa de los factores sobre las variables.

1908

William Sealey Gosset publica un artículo en el que aporta grandes resultados para el estudio de muestras pequeñas, y deduce la distribución t, que se conoce como "t de student", ya que este era el seudónimo con el que publicó dicho artículo.

1922

Pero es sin lugar a dudas Ronald Arnold Fisher la figura más influyente de la estadística moderna, pues la situó como una poderosa herramienta para la planeación y análisis de experimentos.

martes, 29 de abril de 2014

Relaciones trigonometricas

"Trigon" es el griego para triángulo, y "metric" es el griego para medida. Las relaciones trigonométricas son medidas especiales de un triángulo rectángulo (un triángulo con un ángulo que mide 90^o). Recuerde que los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto son llamados los catetos, y el tercer lado (opuesto al ángulo recto) es llamada la hipotenusa.

Hay tres relaciones trigonométricas básicas: seno, coseno, y tangente. Dado un triángulo rectángulo, puede encontrar el seno (o el coseno, o la tangente) de cualquiera de los ángulos diferentes del de 90^o.

Ejemplo:

Escriba las expresiones para el seno, coseno, y tangente de

La longitud del cateto opuesto A es a. La longitud del cateto adyacente a

A es b, y la longitud de la hipotenusa es c.

El seno del ángulo está dado por la relación "opuesto entre hipotenusa". Así,

El coseno está dado por la relación "adyacente entre hipotenusa".

La tangente está dada por la relación "opuesto entre adyacente".

Generaciones de estudiantes han usado la mnemónica "SOHCAHTOA" para recordar cual relación es cual. (Seno: Opuesto entre Hipotenusa, Coseno: Adyacente entre Hipotenusa, Tangente: Opuesto entre Adyacente.)

Otras relaciones trigonométricas

Las otras relaciones trigonométricas comúnes son:

Ejemplo:

Escriba las expresiones para la secante, cosecante, y cotangente de

La longitud del cateto opuesto A es a. La longitud del cateto adyacente a

A es b, y la longitud de la hipotenusa es c.

La secante del ángulo está dada por la relación "hipotenusa entre adyacente". Así,

La cosecante está dada por la relación "hipotenusa entre opuesto".

La cotangente está dada por la relación "adyacente entre opuesto".