matematicas II: Conceptos & Problemas

Conceptos

media:

En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

Mediana :

En el ámbito de la estadística, la mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Moda:

La moda son tendencias repetitivas

Datos agrupados:

Al tratar con datos agrupados, si ${{\frac {n} {2}}}$ coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisas correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

$\frac{N_i-N_{i-1} }{a_i-a_{i-1} }=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{N_i-N_{i-1} }(a_i-a_{i-1})$

Donde $N_{i}$ y $N_{i-1}$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que $N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}$ , $a_{i-1}$ y $a_{i}$ son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y $M_e=a_{i-1}+p$ es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que $a_{i} - a_{i-1}$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Datos no agrupados:

Sean $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como

, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición

una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: $M_e=x_{(n+1)/2}$ .

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son:

=> El valor central es el tercero: $x_{(5+1)/2} = x_3 = 7$ . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (

) y otros dos por encima de él (

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando

es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones

. Es decir: $M_e = (x_{\frac{n}{2}} + x_{{\frac{n}{2}}+1})/2$ .

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son:

=> Hay dos valores que están por debajo del $x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato $x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8$ . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: $M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5$ .

Ejemplos para datos sin agrupar

Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos

xi	fi	Ni
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	8	21 > 19.5
6	9	30
7	3	33
8	4	37
9	2	39

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas

N_i

. Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene

X (39+1) / 2 = X 20

Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo para datos agrupados

Entre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 5 estudiantes.
Entre 1.70 y 1.80 hay 3 estudiantes.

Mediana= 1.60 + \left( \frac{(10/2)-2}{5} \right)0.1=1.66

matematicas II

martes, 3 de junio de 2014

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Ejemplos para datos sin agrupar

Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos

Ejemplo para datos agrupados

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